Լուծեք {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=10$$

$$y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+3y=43$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-3y+43$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -3y+43:

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-3y+43}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x-3y=67:

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-3y+43}{7}:

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

Գումարեք -\frac{12y}{7} -3y-ին:

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Հանեք \frac{172}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{33}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-9$$

Փոխարինեք -9-ը y-ով x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{7} անգամ -9:

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Գումարեք \frac{43}{7} \frac{27}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=10,y=-9$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Պարզեցնել:

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Հանեք 28x-21y=469 28x+12y=172-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

Գումարեք 28x -28x-ին: 28x-ը և -28x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$12y+21y=172-469$$

Գումարեք 12y 21y-ին:

$$33y=172-469$$

Գումարեք 172 -469-ին:

$$33y=-297$$

Բաժանեք երկու կողմերը 33-ի:

$$y=-9$$

Փոխարինեք -9-ը y-ով 4x-3y=67-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

Բազմապատկեք -3 անգամ -9:

$$4x+27=67$$

Հանեք 27 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=40$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=10$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=10,y=-9$$