Լուծեք {l}{7x+3y+16=0}{2x+y+5=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y + 16 = 0 } \\ { 2 x + y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+3y+16=0,2x+y+5=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+3y+16=0$$

Հանեք 16 հավասարման երկու կողմից:

$$7x+3y=-16$$

Հանեք 3y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-3y-16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-16\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -3y-16:

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{16}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-3y-16}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+y+5=0:

$$2\left(-\frac{3}{7}y-\frac{16}{7}\right)+y+5=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-3y-16}{7}:

$$-\frac{6}{7}y-\frac{32}{7}+y+5=0$$

Գումարեք -\frac{6y}{7} y-ին:

$$\frac{1}{7}y-\frac{32}{7}+5=0$$

Գումարեք -\frac{32}{7} 5-ին:

$$\frac{1}{7}y+\frac{3}{7}=0$$

Հանեք \frac{3}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{7}y=-\frac{3}{7}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 7-ով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{3}{7}y-\frac{16}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{3}{7}\left(-3\right)-\frac{16}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{3}{7} անգամ -3:

$$x=\frac{9-16}{7}$$

Գումարեք -\frac{16}{7} \frac{9}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+3y+16=0,2x+y+5=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-3\times 2}&-\frac{3}{7-3\times 2}\\-\frac{2}{7-3\times 2}&\frac{7}{7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-5\right)\\-2\left(-16\right)+7\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+3y+16=0,2x+y+5=0$$

7x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$2\times 7x+2\times 3y+2\times 16=0,7\times 2x+7y+7\times 5=0$$

Պարզեցնել:

$$14x+6y+32=0,14x+7y+35=0$$

Հանեք 14x+7y+35=0 14x+6y+32=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+6y-7y+32-35=0$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y-7y+32-35=0$$

Գումարեք 6y -7y-ին:

$$-y+32-35=0$$

Գումարեք 32 -35-ին:

$$-y-3=0$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$-y=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով 2x+y+5=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-3+5=0$$

Գումարեք -3 5-ին:

$$2x+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=-3$$