Լուծեք {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6+5=y-1$$

Գումարեք -6 և 5 և ստացեք -1:

$$2x-1=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-1-y=-1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$2x-y=-1+1$$

Գումարեք -1 և 1 և ստացեք 0:

$$2x-y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7x+18y=43$$

Հանեք 18y հավասարման երկու կողմից:

$$7x=-18y+43$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ -18y+43:

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Փոխարինեք \frac{-18y+43}{7}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-y=0:

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-18y+43}{7}:

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Գումարեք -\frac{36y}{7} -y-ին:

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Հանեք \frac{86}{7} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{43}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Բազմապատկեք -\frac{18}{7} անգամ 2:

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Գումարեք \frac{43}{7} -\frac{36}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6+5=y-1$$

Գումարեք -6 և 5 և ստացեք -1:

$$2x-1=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-1-y=-1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$2x-y=-1+1$$

Գումարեք -1 և 1 և ստացեք 0:

$$2x-y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-3-ով բազմապատկելու համար:

$$2x-6+5=y-1$$

Գումարեք -6 և 5 և ստացեք -1:

$$2x-1=y-1$$

Հանեք y երկու կողմերից:

$$2x-1-y=-1$$

Հավելել 1-ը երկու կողմերում:

$$2x-y=-1+1$$

Գումարեք -1 և 1 և ստացեք 0:

$$2x-y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

7x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Պարզեցնել:

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Հանեք 14x-7y=0 14x+36y=86-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Գումարեք 14x -14x-ին: 14x-ը և -14x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36y+7y=86$$

Գումարեք 36y 7y-ին:

$$43y=86$$

Բաժանեք երկու կողմերը 43-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 2x-y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-2=0$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$2x=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$