Լուծեք {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=-2$$

$$b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$7a-10b=-64$$

Գումարեք 10b հավասարման երկու կողմին:

$$7a=10b-64$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{7} անգամ 10b-64:

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Փոխարինեք \frac{10b-64}{7}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3a+5b=19:

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{10b-64}{7}:

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Գումարեք \frac{30b}{7} 5b-ին:

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Գումարեք \frac{192}{7} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{65}{7}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=5$$

Փոխարինեք 5-ը b-ով a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Բազմապատկեք \frac{10}{7} անգամ 5:

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Գումարեք -\frac{64}{7} \frac{50}{7}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-2,b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=-2,b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a-ը և 3a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 7-ով:

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Պարզեցնել:

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Հանեք 21a+35b=133 21a-30b=-192-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Գումարեք 21a -21a-ին: 21a-ը և -21a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-30b-35b=-192-133$$

Գումարեք -30b -35b-ին:

$$-65b=-192-133$$

Գումարեք -192 -133-ին:

$$-65b=-325$$

Բաժանեք երկու կողմերը -65-ի:

$$b=5$$

Փոխարինեք 5-ը b-ով 3a+5b=19-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$3a+5\times 5=19$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 5:

$$3a+25=19$$

Հանեք 25 հավասարման երկու կողմից:

$$3a=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=-2,b=5$$