Լուծեք {l}{6x-3y=12}{2x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 3 y = 12 } \\ { 2 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x-3y=12$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$6x=3y+12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(3y+12\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ 12+3y:

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Փոխարինեք \frac{y}{2}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+2y=10:

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+2y=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{y}{2}+2:

$$y+4+2y=10$$

Գումարեք y 2y-ին:

$$3y+4=10$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$3y=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{1}{2}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{2}\times 2+2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2} անգամ 2:

$$x=1+2$$

Գումարեք 2 1-ին:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{6}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 12+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x-3y=12,2x+2y=10$$

6x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 12,6\times 2x+6\times 2y=6\times 10$$

Պարզեցնել:

$$12x-6y=24,12x+12y=60$$

Հանեք 12x+12y=60 12x-6y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-6y-12y=24-60$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-6y-12y=24-60$$

Գումարեք -6y -12y-ին:

$$-18y=24-60$$

Գումարեք 24 -60-ին:

$$-18y=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը -18-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 2x+2y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+2\times 2=10$$

Բազմապատկեք 2 անգամ 2:

$$2x+4=10$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$2x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=2$$