Լուծեք {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=50$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6x+15y=360$$

Հանեք 15y հավասարման երկու կողմից:

$$6x=-15y+360$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -15y+360:

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{2}+60-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 8x+10y=440:

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Բազմապատկեք 8 անգամ -\frac{5y}{2}+60:

$$-20y+480+10y=440$$

Գումարեք -20y 10y-ին:

$$-10y+480=440$$

Հանեք 480 հավասարման երկու կողմից:

$$-10y=-40$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=-\frac{5}{2}y+60-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{2} անգամ 4:

$$x=-10+60$$

Գումարեք 60 -10-ին:

$$x=50$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=50,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=50,y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x-ը և 8x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 8-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Պարզեցնել:

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Հանեք 48x+60y=2640 48x+120y=2880-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Գումարեք 48x -48x-ին: 48x-ը և -48x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$120y-60y=2880-2640$$

Գումարեք 120y -60y-ին:

$$60y=2880-2640$$

Գումարեք 2880 -2640-ին:

$$60y=240$$

Բաժանեք երկու կողմերը 60-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 8x+10y=440-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$8x+10\times 4=440$$

Բազմապատկեք 10 անգամ 4:

$$8x+40=440$$

Հանեք 40 հավասարման երկու կողմից:

$$8x=400$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$x=50$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=50,y=4$$