Լուծեք {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել u, v-ի համար

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն u-ի համար՝ առանձնացնելով u-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$6u+4v=5$$

Հանեք 4v հավասարման երկու կողմից:

$$6u=-4v+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{6} անգամ -4v+5:

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Փոխարինեք -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}-ը u-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9u-8v=4:

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}:

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Գումարեք -6v -8v-ին:

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Հանեք \frac{15}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -14-ի:

$$v=\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք \frac{1}{4}-ը v-ով u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ \frac{1}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Գումարեք \frac{5}{6} -\frac{1}{6}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$u=\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի u և v տարրերը:

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u-ը և 9u-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 6-ով:

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Պարզեցնել:

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Հանեք 54u-48v=24 54u+36v=45-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Գումարեք 54u -54u-ին: 54u-ը և -54u-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36v+48v=45-24$$

Գումարեք 36v 48v-ին:

$$84v=45-24$$

Գումարեք 45 -24-ին:

$$84v=21$$

Բաժանեք երկու կողմերը 84-ի:

$$v=\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք \frac{1}{4}-ը v-ով 9u-8v=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես u-ի համար:

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Բազմապատկեք -8 անգամ \frac{1}{4}:

$$9u-2=4$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$9u=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$u=\frac{2}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$