Լուծեք {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=6$$

$$y=-100$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$50x+y=200$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$50x=-y+200$$

Բաժանեք երկու կողմերը 50-ի:

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{50} անգամ -y+200:

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Փոխարինեք -\frac{y}{50}+4-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 60x+y=260:

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Բազմապատկեք 60 անգամ -\frac{y}{50}+4:

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Գումարեք -\frac{6y}{5} y-ին:

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Հանեք 240 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -5-ով:

$$y=-100$$

Փոխարինեք -100-ը y-ով x=-\frac{1}{50}y+4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{50} անգամ -100:

$$x=2+4$$

Գումարեք 4 2-ին:

$$x=6$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-100$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=6,y=-100$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Հանեք 60x+y=260 50x+y=200-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Գումարեք y -y-ին: y-ը և -y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$50x-60x=200-260$$

Գումարեք 50x -60x-ին:

$$-10x=200-260$$

Գումարեք 200 -260-ին:

$$-10x=-60$$

Բաժանեք երկու կողմերը -10-ի:

$$x=6$$

Փոխարինեք 6-ը x-ով 60x+y=260-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$60\times 6+y=260$$

Բազմապատկեք 60 անգամ 6:

$$360+y=260$$

Հանեք 360 հավասարման երկու կողմից:

$$y=-100$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=6,y=-100$$