Լուծեք {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=25$$

$$y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-y=110$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=y+110$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ y+110:

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Փոխարինեք \frac{y}{5}+22-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+9y=110:

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Բազմապատկեք -1 անգամ \frac{y}{5}+22:

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Գումարեք -\frac{y}{5} 9y-ին:

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Գումարեք 22 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{44}{5}y=132$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{44}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով x=\frac{1}{5}y+22-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 15:

$$x=3+22$$

Գումարեք 22 3-ին:

$$x=25$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=25,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=25,y=15$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x-ը և -x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Պարզեցնել:

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Հանեք -5x+45y=550 -5x+y=-110-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Գումարեք -5x 5x-ին: -5x-ը և 5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$y-45y=-110-550$$

Գումարեք y -45y-ին:

$$-44y=-110-550$$

Գումարեք -110 -550-ին:

$$-44y=-660$$

Բաժանեք երկու կողմերը -44-ի:

$$y=15$$

Փոխարինեք 15-ը y-ով -x+9y=110-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-x+9\times 15=110$$

Բազմապատկեք 9 անգամ 15:

$$-x+135=110$$

Հանեք 135 հավասարման երկու կողմից:

$$-x=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$x=25$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=25,y=15$$