Լուծեք {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 19y երկու կողմերից:

$$5x-4y-19y=0$$

Համակցեք -4y և -19y և ստացեք -23y:

$$5x-23y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-23y=0$$

Գումարեք 23y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=23y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 23y:

$$x=\frac{23}{5}y$$

Փոխարինեք \frac{23y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+2y=71:

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{23y}{5}:

$$23y+2y=71$$

Գումարեք 23y 2y-ին:

$$25y=71$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$y=\frac{71}{25}$$

Փոխարինեք \frac{71}{25}-ը y-ով x=\frac{23}{5}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Բազմապատկեք \frac{23}{5} անգամ \frac{71}{25}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{1633}{125}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 19y երկու կողմերից:

$$5x-4y-19y=0$$

Համակցեք -4y և -19y և ստացեք -23y:

$$5x-23y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 19y երկու կողմերից:

$$5x-4y-19y=0$$

Համակցեք -4y և -19y և ստացեք -23y:

$$5x-23y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Հանեք 5x+2y=71 5x-23y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-23y-2y=-71$$

Գումարեք -23y -2y-ին:

$$-25y=-71$$

Բաժանեք երկու կողմերը -25-ի:

$$y=\frac{71}{25}$$

Փոխարինեք \frac{71}{25}-ը y-ով 5x+2y=71-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{71}{25}:

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Հանեք \frac{142}{25} հավասարման երկու կողմից:

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1633}{125}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$