Լուծեք {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-4y=11$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=4y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 4y+11:

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4y+11}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=7:

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{4y+11}{5}:

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Գումարեք \frac{12y}{5} 2y-ին:

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Հանեք \frac{33}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{22}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{1}{11}$$

Փոխարինեք \frac{1}{11}-ը y-ով x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ \frac{1}{11}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Գումարեք \frac{11}{5} \frac{4}{55}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{25}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

5x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Պարզեցնել:

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Հանեք 15x+10y=35 15x-12y=33-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-10y=33-35$$

Գումարեք -12y -10y-ին:

$$-22y=33-35$$

Գումարեք 33 -35-ին:

$$-22y=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=\frac{1}{11}$$

Փոխարինեք \frac{1}{11}-ը y-ով 3x+2y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{1}{11}:

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Հանեք \frac{2}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$3x=\frac{75}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{25}{11}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$