Լուծեք {l}{5x-4y=0}{2x+4y/5=1-2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 0 } \\ { 2 x + \frac { 4 y } { 5 } = 1 - 2 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$10x+4y=5-10x$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$10x+4y+10x=5$$

Համակցեք 10x և 10x և ստացեք 20x:

$$20x+4y=5$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-4y=0,20x+4y=5$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-4y=0$$

Գումարեք 4y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=4y$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\times 4y$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 4y:

$$x=\frac{4}{5}y$$

Փոխարինեք \frac{4y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 20x+4y=5:

$$20\times \frac{4}{5}y+4y=5$$

Բազմապատկեք 20 անգամ \frac{4y}{5}:

$$16y+4y=5$$

Գումարեք 16y 4y-ին:

$$20y=5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$y=\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք \frac{1}{4}-ը y-ով x=\frac{4}{5}y-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{4}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{5} անգամ \frac{1}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=\frac{1}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{5},y=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$10x+4y=5-10x$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$10x+4y+10x=5$$

Համակցեք 10x և 10x և ստացեք 20x:

$$20x+4y=5$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-4y=0,20x+4y=5$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\20&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-4\times 20\right)}&-\frac{-4}{5\times 4-\left(-4\times 20\right)}\\-\frac{20}{5\times 4-\left(-4\times 20\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-4\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 5\\\frac{1}{20}\times 5\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{5},y=\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը 5-ով:

$$10x+4y=5-10x$$

Հավելել 10x-ը երկու կողմերում:

$$10x+4y+10x=5$$

Համակցեք 10x և 10x և ստացեք 20x:

$$20x+4y=5$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-4y=0,20x+4y=5$$

5x-ը և 20x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 20-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$20\times 5x+20\left(-4\right)y=0,5\times 20x+5\times 4y=5\times 5$$

Պարզեցնել:

$$100x-80y=0,100x+20y=25$$

Հանեք 100x+20y=25 100x-80y=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$100x-100x-80y-20y=-25$$

Գումարեք 100x -100x-ին: 100x-ը և -100x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-80y-20y=-25$$

Գումարեք -80y -20y-ին:

$$-100y=-25$$

Բաժանեք երկու կողմերը -100-ի:

$$y=\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք \frac{1}{4}-ը y-ով 20x+4y=5-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$20x+4\times \frac{1}{4}=5$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{1}{4}:

$$20x+1=5$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$20x=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 20-ի:

$$x=\frac{1}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{5},y=\frac{1}{4}$$