Լուծեք {l}{5x-3y=6}{4x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x-3y=6$$

Գումարեք 3y հավասարման երկու կողմին:

$$5x=3y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ 6+3y:

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Փոխարինեք \frac{6+3y}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+2y=3:

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{6+3y}{5}:

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

Գումարեք \frac{12y}{5} 2y-ին:

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

Հանեք \frac{24}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{22}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{9}{22}$$

Փոխարինեք -\frac{9}{22}-ը y-ով x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

Բազմապատկեք \frac{3}{5} անգամ -\frac{9}{22}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

Գումարեք \frac{6}{5} -\frac{27}{110}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{21}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

5x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

Պարզեցնել:

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

Հանեք 20x+10y=15 20x-12y=24-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

Գումարեք 20x -20x-ին: 20x-ը և -20x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-12y-10y=24-15$$

Գումարեք -12y -10y-ին:

$$-22y=24-15$$

Գումարեք 24 -15-ին:

$$-22y=9$$

Բաժանեք երկու կողմերը -22-ի:

$$y=-\frac{9}{22}$$

Փոխարինեք -\frac{9}{22}-ը y-ով 4x+2y=3-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -\frac{9}{22}:

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

Գումարեք \frac{9}{11} հավասարման երկու կողմին:

$$4x=\frac{42}{11}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{21}{22}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$