Լուծեք {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+y=35$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-y+35$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -y+35:

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Փոխարինեք -\frac{y}{5}+7-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 7x+1,1y=40:

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

Բազմապատկեք 7 անգամ -\frac{y}{5}+7:

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

Գումարեք -\frac{7y}{5} \frac{11y}{10}-ին:

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Հանեք 49 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{3}{10}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով x=-\frac{1}{5}y+7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{5} անգամ 30:

$$x=-6+7$$

Գումարեք 7 -6-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1;y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1;y=30$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

5x-ը և 7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

Պարզեցնել:

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

Հանեք 35x+5,5y=200 35x+7y=245-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

Գումարեք 35x -35x-ին: 35x-ը և -35x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y-5,5y=245-200$$

Գումարեք 7y -\frac{11y}{2}-ին:

$$1,5y=245-200$$

Գումարեք 245 -200-ին:

$$1,5y=45$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը 1,5-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=30$$

Փոխարինեք 30-ը y-ով 7x+1,1y=40-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$7x+1,1\times 30=40$$

Բազմապատկեք 1,1 անգամ 30:

$$7x+33=40$$

Հանեք 33 հավասարման երկու կողմից:

$$7x=7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1;y=30$$