Լուծեք {l}{5x+7y=4}{x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+7y=4,x-y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+7y=4$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-7y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -7y+4:

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{-7y+4}{5}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-y=8:

$$-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Գումարեք -\frac{7y}{5} -y-ին:

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Հանեք \frac{4}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{12}{5}y=\frac{36}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{12}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x=-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{5} անգամ -3:

$$x=\frac{21+4}{5}$$

Գումարեք \frac{4}{5} \frac{21}{5}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+7y=4,x-y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{5\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-7}&\frac{5}{5\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 4+\frac{7}{12}\times 8\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{5}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+7y=4,x-y=8$$

5x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$5x+7y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\times 8$$

Պարզեցնել:

$$5x+7y=4,5x-5y=40$$

Հանեք 5x-5y=40 5x+7y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5x-5x+7y+5y=4-40$$

Գումարեք 5x -5x-ին: 5x-ը և -5x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$7y+5y=4-40$$

Գումարեք 7y 5y-ին:

$$12y=4-40$$

Գումարեք 4 -40-ին:

$$12y=-36$$

Բաժանեք երկու կողմերը 12-ի:

$$y=-3$$

Փոխարինեք -3-ը y-ով x-y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\left(-3\right)=8$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=-3$$