Լուծեք {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=160$$

$$y=180$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 2x+4y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$1020=2060-2x-4y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2060-2x-4y=1020$$

Հանեք 2060 երկու կողմերից:

$$-2x-4y=1020-2060$$

Հանեք 2060 1020-ից և ստացեք -1040:

$$-2x-4y=-1040$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$5x+7y=2060$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-7y+2060$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{5} անգամ -7y+2060:

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

Փոխարինեք -\frac{7y}{5}+412-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-4y=-1040:

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -\frac{7y}{5}+412:

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

Գումարեք \frac{14y}{5} -4y-ին:

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

Գումարեք 824 հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{6}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=180$$

Փոխարինեք 180-ը y-ով x=-\frac{7}{5}y+412-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{5} անգամ 180:

$$x=-252+412$$

Գումարեք 412 -252-ին:

$$x=160$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=160,y=180$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 2x+4y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$1020=2060-2x-4y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2060-2x-4y=1020$$

Հանեք 2060 երկու կողմերից:

$$-2x-4y=1020-2060$$

Հանեք 2060 1020-ից և ստացեք -1040:

$$-2x-4y=-1040$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=160,y=180$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: 2x+4y-ի հակադարձը գտնելու համար գտեք յուրաքանչյուր տերմինի հակադարձը:

$$1020=2060-2x-4y$$

Փոխանակեք կողմերը, այնպես որ բոլոր փոփոխական անդամները լինեն ձախ կողմում:

$$2060-2x-4y=1020$$

Հանեք 2060 երկու կողմերից:

$$-2x-4y=1020-2060$$

Հանեք 2060 1020-ից և ստացեք -1040:

$$-2x-4y=-1040$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

5x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 5-ով:

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

Պարզեցնել:

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

Հանեք -10x-20y=-5200 -10x-14y=-4120-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

Գումարեք -10x 10x-ին: -10x-ը և 10x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-14y+20y=-4120+5200$$

Գումարեք -14y 20y-ին:

$$6y=-4120+5200$$

Գումարեք -4120 5200-ին:

$$6y=1080$$

Բաժանեք երկու կողմերը 6-ի:

$$y=180$$

Փոխարինեք 180-ը y-ով -2x-4y=-1040-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-4\times 180=-1040$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 180:

$$-2x-720=-1040$$

Գումարեք 720 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=-320$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=160$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=160,y=180$$