Լուծեք {l}{48x+40y=1200}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1200 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$48x+40y=1200$$

Հանեք 40y հավասարման երկու կողմից:

$$48x=-40y+1200$$

Բաժանեք երկու կողմերը 48-ի:

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1200\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{48} անգամ -40y+1200:

$$x=-\frac{5}{6}y+25$$

Փոխարինեք -\frac{5y}{6}+25-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 120x+80y=2800:

$$120\left(-\frac{5}{6}y+25\right)+80y=2800$$

Բազմապատկեք 120 անգամ -\frac{5y}{6}+25:

$$-100y+3000+80y=2800$$

Գումարեք -100y 80y-ին:

$$-20y+3000=2800$$

Հանեք 3000 հավասարման երկու կողմից:

$$-20y=-200$$

Բաժանեք երկու կողմերը -20-ի:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով x=-\frac{5}{6}y+25-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+25$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{6} անգամ 10:

$$x=-\frac{25}{3}+25$$

Գումարեք 25 -\frac{25}{3}-ին:

$$x=\frac{50}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1200+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1200-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

48x-ը և 120x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 120-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 48-ով:

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1200,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

Պարզեցնել:

$$5760x+4800y=144000,5760x+3840y=134400$$

Հանեք 5760x+3840y=134400 5760x+4800y=144000-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$5760x-5760x+4800y-3840y=144000-134400$$

Գումարեք 5760x -5760x-ին: 5760x-ը և -5760x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4800y-3840y=144000-134400$$

Գումարեք 4800y -3840y-ին:

$$960y=144000-134400$$

Գումարեք 144000 -134400-ին:

$$960y=9600$$

Բաժանեք երկու կողմերը 960-ի:

$$y=10$$

Փոխարինեք 10-ը y-ով 120x+80y=2800-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$120x+80\times 10=2800$$

Բազմապատկեք 80 անգամ 10:

$$120x+800=2800$$

Հանեք 800 հավասարման երկու կողմից:

$$120x=2000$$

Բաժանեք երկու կողմերը 120-ի:

$$x=\frac{50}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{50}{3},y=10$$