Լուծեք {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Լուծել k, b-ի համար

$$k=-2$$

$$b=160$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն k-ի համար՝ առանձնացնելով k-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$44k+b=72$$

Հանեք b հավասարման երկու կողմից:

$$44k=-b+72$$

Բաժանեք երկու կողմերը 44-ի:

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{44} անգամ -b+72:

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Փոխարինեք -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}-ը k-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 48k+b=64:

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Բազմապատկեք 48 անգամ -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}:

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Գումարեք -\frac{12b}{11} b-ին:

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Հանեք \frac{864}{11} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը -11-ով:

$$b=160$$

Փոխարինեք 160-ը b-ով k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես k-ի համար:

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{44} անգամ 160:

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Գումարեք \frac{18}{11} -\frac{40}{11}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$k=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-2,b=160$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի k և b տարրերը:

$$k=-2,b=160$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Հանեք 48k+b=64 44k+b=72-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Գումարեք b -b-ին: b-ը և -b-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$44k-48k=72-64$$

Գումարեք 44k -48k-ին:

$$-4k=72-64$$

Գումարեք 72 -64-ին:

$$-4k=8$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$k=-2$$

Փոխարինեք -2-ը k-ով 48k+b=64-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես b-ի համար:

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Բազմապատկեք 48 անգամ -2:

$$-96+b=64$$

Գումարեք 96 հավասարման երկու կողմին:

$$b=160$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$k=-2,b=160$$