Լուծեք {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Գումարեք 4a հավասարման երկու կողմին:

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Գումարեք ay հավասարման երկու կողմին:

$$4x=ay+4a$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ a\left(4+y\right):

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Փոխարինեք a+\frac{ay}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ ax-4y+6a=0:

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Բազմապատկեք a անգամ a+\frac{ay}{4}:

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Գումարեք \frac{a^{2}y}{4} -4y-ին:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Գումարեք a^{2} 6a-ին:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Հանեք a\left(6+a\right) հավասարման երկու կողմից:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4+\frac{a^{2}}{4}-ի:

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Փոխարինեք -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}-ը y-ով x=\frac{a}{4}y+a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Բազմապատկեք \frac{a}{4} անգամ -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}:

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Գումարեք a -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}-ին:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x-ը և ax-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները a-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Պարզեցնել:

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Հանեք 4ax-16y+24a=0 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք 4ax -4ax-ին: 4ax-ը և -4ax-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք -a^{2}y 16y-ին:

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք -4a^{2} -24a-ին:

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Գումարեք 4a\left(6+a\right) հավասարման երկու կողմին:

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -a^{2}+16-ի:

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Փոխարինեք \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}-ը y-ով ax-4y+6a=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}:

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Գումարեք -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} 6a-ին:

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Գումարեք \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} հավասարման երկու կողմին:

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը a-ի:

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Գումարեք 4a հավասարման երկու կողմին:

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Գումարեք ay հավասարման երկու կողմին:

$$4x=ay+4a$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ a\left(4+y\right):

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Փոխարինեք a+\frac{ay}{4}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ ax-4y+6a=0:

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Բազմապատկեք a անգամ a+\frac{ay}{4}:

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Գումարեք \frac{a^{2}y}{4} -4y-ին:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Գումարեք a^{2} 6a-ին:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Հանեք a\left(6+a\right) հավասարման երկու կողմից:

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4+\frac{a^{2}}{4}-ի:

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Փոխարինեք -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}-ը y-ով x=\frac{a}{4}y+a-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Բազմապատկեք \frac{a}{4} անգամ -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}:

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Գումարեք a -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}-ին:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x-ը և ax-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները a-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Պարզեցնել:

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Հանեք 4ax-16y+24a=0 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք 4ax -4ax-ին: 4ax-ը և -4ax-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք -a^{2}y 16y-ին:

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Գումարեք -4a^{2} -24a-ին:

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Գումարեք 4a\left(6+a\right) հավասարման երկու կողմին:

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Բաժանեք երկու կողմերը -a^{2}+16-ի:

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Փոխարինեք \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}-ը y-ով ax-4y+6a=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}:

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Գումարեք -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} 6a-ին:

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Գումարեք \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} հավասարման երկու կողմին:

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Բաժանեք երկու կողմերը a-ի:

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$