Լուծեք {l}{4x=12y-4}{3x-11y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x = 12 y - 4 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=5$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 12y երկու կողմերից:

$$4x-12y=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x-12y=-4,3x-11y=-7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x-12y=-4$$

Գումարեք 12y հավասարման երկու կողմին:

$$4x=12y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(12y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ 12y-4:

$$x=3y-1$$

Փոխարինեք 3y-1-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-11y=-7:

$$3\left(3y-1\right)-11y=-7$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 3y-1:

$$9y-3-11y=-7$$

Գումարեք 9y -11y-ին:

$$-2y-3=-7$$

Գումարեք 3 հավասարման երկու կողմին:

$$-2y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=3y-1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=3\times 2-1$$

Բազմապատկեք 3 անգամ 2:

$$x=6-1$$

Գումարեք -1 6-ին:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 12y երկու կողմերից:

$$4x-12y=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x-12y=-4,3x-11y=-7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-12\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-\left(-12\times 3\right)}&-\frac{-12}{4\left(-11\right)-\left(-12\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-\left(-12\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-11\right)-\left(-12\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8}&-\frac{3}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8}\left(-4\right)-\frac{3}{2}\left(-7\right)\\\frac{3}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=5,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 12y երկու կողմերից:

$$4x-12y=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x-12y=-4,3x-11y=-7$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\left(-12\right)y=3\left(-4\right),4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

Պարզեցնել:

$$12x-36y=-12,12x-44y=-28$$

Հանեք 12x-44y=-28 12x-36y=-12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-36y+44y=-12+28$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-36y+44y=-12+28$$

Գումարեք -36y 44y-ին:

$$8y=-12+28$$

Գումարեք -12 28-ին:

$$8y=16$$

Բաժանեք երկու կողմերը 8-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով 3x-11y=-7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-11\times 2=-7$$

Բազմապատկեք -11 անգամ 2:

$$3x-22=-7$$

Գումարեք 22 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=15$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=5$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=5,y=2$$