Լուծեք {l}{4x+2y=6}{3x-y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 3 x - y = - 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-1$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4x+2y=6$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-2y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -2y+6:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+3}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x-y=-8:

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-y=-8$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-y+3}{2}:

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}-y=-8$$

Գումարեք -\frac{3y}{2} -y-ին:

$$-\frac{5}{2}y+\frac{9}{2}=-8$$

Հանեք \frac{9}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{2}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 5:

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} -\frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{3}{10}\times 6-\frac{2}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-1,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4x+2y=6,3x-y=-8$$

4x-ը և 3x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4x+3\times 2y=3\times 6,4\times 3x+4\left(-1\right)y=4\left(-8\right)$$

Պարզեցնել:

$$12x+6y=18,12x-4y=-32$$

Հանեք 12x-4y=-32 12x+6y=18-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x+6y+4y=18+32$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$6y+4y=18+32$$

Գումարեք 6y 4y-ին:

$$10y=18+32$$

Գումարեք 18 32-ին:

$$10y=50$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 3x-y=-8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x-5=-8$$

Գումարեք 5 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=-1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-1,y=5$$