Լուծեք {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$4m+9n=-35$$

Հանեք 9n հավասարման երկու կողմից:

$$4m=-9n-35$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{4} անգամ -9n-35:

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Փոխարինեք \frac{-9n-35}{4}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3m-8n=18:

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{-9n-35}{4}:

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Գումարեք -\frac{27n}{4} -8n-ին:

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Գումարեք \frac{105}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{59}{4}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=-3$$

Փոխարինեք -3-ը n-ով m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Բազմապատկեք -\frac{9}{4} անգամ -3:

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Գումարեք -\frac{35}{4} \frac{27}{4}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=-2,n=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=-2,n=-3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m-ը և 3m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 3-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 4-ով:

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Պարզեցնել:

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Հանեք 12m-32n=72 12m+27n=-105-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Գումարեք 12m -12m-ին: 12m-ը և -12m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$27n+32n=-105-72$$

Գումարեք 27n 32n-ին:

$$59n=-105-72$$

Գումարեք -105 -72-ին:

$$59n=-177$$

Բաժանեք երկու կողմերը 59-ի:

$$n=-3$$

Փոխարինեք -3-ը n-ով 3m-8n=18-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -3:

$$3m+24=18$$

Հանեք 24 հավասարման երկու կողմից:

$$3m=-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$m=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=-2,n=-3$$