Լուծեք {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Համակցեք -4y և -14y և ստացեք -18y:

$$8x-18y-7x=-36$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-18y=-36$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$-2x-4-7y=-18$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$-2x-7y=-18+4$$

Գումարեք -18 և 4 և ստացեք -14:

$$-2x-7y=-14$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x-18y=-36$$

Գումարեք 18y հավասարման երկու կողմին:

$$x=18y-36$$

Փոխարինեք -36+18y-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -2x-7y=-14:

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -36+18y:

$$-36y+72-7y=-14$$

Գումարեք -36y -7y-ին:

$$-43y+72=-14$$

Հանեք 72 հավասարման երկու կողմից:

$$-43y=-86$$

Բաժանեք երկու կողմերը -43-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=18y-36-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=18\times 2-36$$

Բազմապատկեք 18 անգամ 2:

$$x=36-36$$

Գումարեք -36 36-ին:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Համակցեք -4y և -14y և ստացեք -18y:

$$8x-18y-7x=-36$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-18y=-36$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$-2x-4-7y=-18$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$-2x-7y=-18+4$$

Գումարեք -18 և 4 և ստացեք -14:

$$-2x-7y=-14$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=0,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 4 2x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+x-ով բազմապատկելու համար:

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Համակցեք -4y և -14y և ստացեք -18y:

$$8x-18y-7x=-36$$

Համակցեք 8x և -7x և ստացեք x:

$$x-18y=-36$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -2 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$-2x-4-7y=-18$$

Հավելել 4-ը երկու կողմերում:

$$-2x-7y=-18+4$$

Գումարեք -18 և 4 և ստացեք -14:

$$-2x-7y=-14$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

x-ը և -2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Պարզեցնել:

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Հանեք -2x-7y=-14 -2x+36y=72-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$36y+7y=72+14$$

Գումարեք 36y 7y-ին:

$$43y=72+14$$

Գումարեք 72 14-ին:

$$43y=86$$

Բաժանեք երկու կողմերը 43-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով -2x-7y=-14-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-2x-7\times 2=-14$$

Բազմապատկեք -7 անգամ 2:

$$-2x-14=-14$$

Գումարեք 14 հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=0$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=0$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=2$$