Լուծեք {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$361x+463y=-102$$

Հանեք 463y հավասարման երկու կողմից:

$$361x=-463y-102$$

Բաժանեք երկու կողմերը 361-ի:

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{361} անգամ -463y-102:

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Փոխարինեք \frac{-463y-102}{361}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 463x+361y=102:

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Բազմապատկեք 463 անգամ \frac{-463y-102}{361}:

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Գումարեք -\frac{214369y}{361} 361y-ին:

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Գումարեք \frac{47226}{361} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{84048}{361}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Բազմապատկեք -\frac{463}{361} անգամ -1:

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Գումարեք -\frac{102}{361} \frac{463}{361}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x-ը և 463x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 463-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 361-ով:

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Պարզեցնել:

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Հանեք 167143x+130321y=36822 167143x+214369y=-47226-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Գումարեք 167143x -167143x-ին: 167143x-ը և -167143x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Գումարեք 214369y -130321y-ին:

$$84048y=-47226-36822$$

Գումարեք -47226 -36822-ին:

$$84048y=-84048$$

Բաժանեք երկու կողմերը 84048-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 463x+361y=102-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Բազմապատկեք 361 անգամ -1:

$$463x-361=102$$

Գումարեք 361 հավասարման երկու կողմին:

$$463x=463$$

Բաժանեք երկու կողմերը 463-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$