Լուծեք {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=20$$

$$y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$30x+15y=675$$

Հանեք 15y հավասարման երկու կողմից:

$$30x=-15y+675$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{30} անգամ -15y+675:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+45}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 42x+20y=940:

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Բազմապատկեք 42 անգամ \frac{-y+45}{2}:

$$-21y+945+20y=940$$

Գումարեք -21y 20y-ին:

$$-y+945=940$$

Հանեք 945 հավասարման երկու կողմից:

$$-y=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ 5:

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Գումարեք \frac{45}{2} -\frac{5}{2}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=20$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=20,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=20,y=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x-ը և 42x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 42-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 30-ով:

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Պարզեցնել:

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Հանեք 1260x+600y=28200 1260x+630y=28350-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Գումարեք 1260x -1260x-ին: 1260x-ը և -1260x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$630y-600y=28350-28200$$

Գումարեք 630y -600y-ին:

$$30y=28350-28200$$

Գումարեք 28350 -28200-ին:

$$30y=150$$

Բաժանեք երկու կողմերը 30-ի:

$$y=5$$

Փոխարինեք 5-ը y-ով 42x+20y=940-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$42x+20\times 5=940$$

Բազմապատկեք 20 անգամ 5:

$$42x+100=940$$

Հանեք 100 հավասարման երկու կողմից:

$$42x=840$$

Բաժանեք երկու կողմերը 42-ի:

$$x=20$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=20,y=5$$