Լուծեք {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել y, x-ի համար

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3y-4x=8$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն y-ի համար՝ առանձնացնելով y-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3y-4x=8$$

Գումարեք 4x հավասարման երկու կողմին:

$$3y=4x+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 8+4x:

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք \frac{8+4x}{3}-ը y-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2y-8x=7:

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{8+4x}{3}:

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Գումարեք \frac{8x}{3} -8x-ին:

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Հանեք \frac{16}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{16}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$x=-\frac{5}{16}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{16}-ը x-ով y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{4}{3} անգամ -\frac{5}{16}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Գումարեք \frac{8}{3} -\frac{5}{12}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{9}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3y-4x=8$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի y և x տարրերը:

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$3y-4x=8$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y-ը և 2y-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Պարզեցնել:

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Հանեք 6y-24x=21 6y-8x=16-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Գումարեք 6y -6y-ին: 6y-ը և -6y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8x+24x=16-21$$

Գումարեք -8x 24x-ին:

$$16x=16-21$$

Գումարեք 16 -21-ին:

$$16x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 16-ի:

$$x=-\frac{5}{16}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{16}-ը x-ով 2y-8x=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Բազմապատկեք -8 անգամ -\frac{5}{16}:

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$2y=\frac{9}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$y=\frac{9}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$