Լուծեք {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=6$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y+6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y+6:

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Փոխարինեք \frac{y}{3}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x+\frac{1}{3}y=8:

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{y}{3}+2:

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Գումարեք \frac{2y}{3} \frac{y}{3}-ին:

$$y+4=8$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 4:

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Գումարեք 2 \frac{4}{3}-ին:

$$x=\frac{10}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Պարզեցնել:

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Հանեք 6x+y=24 6x-2y=12-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-y=12-24$$

Գումարեք -2y -y-ին:

$$-3y=12-24$$

Գումարեք 12 -24-ին:

$$-3y=-12$$

Բաժանեք երկու կողմերը -3-ի:

$$y=4$$

Փոխարինեք 4-ը y-ով 2x+\frac{1}{3}y=8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 4:

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$2x=\frac{20}{3}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{10}{3}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{10}{3},y=4$$