Լուծեք {l}{3x-y=4}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y=4,x+y=1$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y=4$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=y+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(y+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ y+4:

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{4+y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=1:

$$\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}+y=1$$

Գումարեք \frac{y}{3} y-ին:

$$\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}=1$$

Հանեք \frac{4}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{4}{3}y=-\frac{1}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{4}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{4}-ը y-ով x=\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -\frac{1}{4}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{1}{12}+\frac{4}{3}$$

Գումարեք \frac{4}{3} -\frac{1}{12}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{5}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-y=4,x+y=1$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-y=4,x+y=1$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x-y=4,3x+3y=3$$

Հանեք 3x+3y=3 3x-y=4-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x-y-3y=4-3$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y-3y=4-3$$

Գումարեք -y -3y-ին:

$$-4y=4-3$$

Գումարեք 4 -3-ին:

$$-4y=1$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-\frac{1}{4}$$

Փոխարինեք -\frac{1}{4}-ը y-ով x+y=1-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-\frac{1}{4}=1$$

Գումարեք \frac{1}{4} հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5}{4}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{1}{4}$$