Լուծեք {l}{3x-y+2=0}{x^2/16+y^2/4=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 16 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=0\text{, }y=2$$

$$x=-\frac{48}{37}\approx -1.297297297\text{, }y=-\frac{70}{37}\approx -1.891891892$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինման և քառակուսու բանաձևը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-y+2=0,\frac{1}{4}y^{2}+\frac{1}{16}x^{2}=1$$

Լուծեք 3x-y+2=0-ը x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-y+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$3x-y=-2$$

Հանեք -y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=y-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Փոխարինեք \frac{1}{3}y-\frac{2}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ \frac{1}{4}y^{2}+\frac{1}{16}x^{2}=1:

$$\frac{1}{4}y^{2}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)^{2}=1$$

\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}-ի քառակուսի:

$$\frac{1}{4}y^{2}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{9}y^{2}-\frac{4}{9}y+\frac{4}{9}\right)=1$$

Բազմապատկեք \frac{1}{16} անգամ \frac{1}{9}y^{2}-\frac{4}{9}y+\frac{4}{9}:

$$\frac{1}{4}y^{2}+\frac{1}{144}y^{2}-\frac{1}{36}y+\frac{1}{36}=1$$

Գումարեք \frac{1}{4}y^{2} \frac{1}{144}y^{2}-ին:

$$\frac{37}{144}y^{2}-\frac{1}{36}y+\frac{1}{36}=1$$

Հանեք 1 հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{37}{144}y^{2}-\frac{1}{36}y-\frac{35}{36}=0$$

Այս հավասարումը ստանդարտ ձևով է՝ ax^{2}+bx+c=0: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} քառ. հավ. արմ. բանաձևում փոխարինեք \frac{1}{4}+\frac{1}{16}\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2}-ը a-ով, \frac{1}{16}\left(-\frac{2}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times 2-ը b-ով և -\frac{35}{36}-ը c-ով:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{36}\right)^{2}-4\times \frac{37}{144}\left(-\frac{35}{36}\right)}}{2\times \frac{37}{144}}$$

\frac{1}{16}\left(-\frac{2}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times 2-ի քառակուսի:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±\sqrt{\frac{1}{1296}-4\times \frac{37}{144}\left(-\frac{35}{36}\right)}}{2\times \frac{37}{144}}$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±\sqrt{\frac{1}{1296}-\frac{37}{36}\left(-\frac{35}{36}\right)}}{2\times \frac{37}{144}}$$

Բազմապատկեք -\frac{37}{36} անգամ -\frac{35}{36}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±\sqrt{\frac{1+1295}{1296}}}{2\times \frac{37}{144}}$$

Գումարեք \frac{1}{1296} \frac{1295}{1296}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±\sqrt{1}}{2\times \frac{37}{144}}$$

Հանեք 1-ի քառակուսի արմատը:

$$y=\frac{-\left(-\frac{1}{36}\right)±1}{2\times \frac{37}{144}}$$

\frac{1}{16}\left(-\frac{2}{3}\right)\times \frac{1}{3}\times 2 թվի հակադրությունը \frac{1}{36} է:

$$y=\frac{\frac{1}{36}±1}{2\times \frac{37}{144}}$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}\times \left(\frac{1}{3}\right)^{2}:

$$y=\frac{\frac{1}{36}±1}{\frac{37}{72}}$$

Այժմ լուծել y=\frac{\frac{1}{36}±1}{\frac{37}{72}} հավասարումը, երբ ±-ը պլյուս է: Գումարեք \frac{1}{36} 1-ին:

$$y=\frac{\frac{37}{36}}{\frac{37}{72}}$$

Բաժանեք \frac{37}{36}-ը \frac{37}{72}-ի վրա՝ բազմապատկելով \frac{37}{36}-ը \frac{37}{72}-ի հակադարձով:

$$y=2$$

Այժմ լուծել y=\frac{\frac{1}{36}±1}{\frac{37}{72}} հավասարումը, երբ ±-ը մինուս է: Հանեք 1 \frac{1}{36}-ից:

$$y=-\frac{\frac{35}{36}}{\frac{37}{72}}$$

Բաժանեք -\frac{35}{36}-ը \frac{37}{72}-ի վրա՝ բազմապատկելով -\frac{35}{36}-ը \frac{37}{72}-ի հակադարձով:

$$y=-\frac{70}{37}$$

Երկու լուծման եղանակ կա y-ի համար՝ 2 և -\frac{70}{37}: Փոխարինեք 2-ը y-ով x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} հավասրաման մեջ և գտեք x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 2:

$$x=\frac{2-2}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3}\times 2 -\frac{2}{3}-ին:

$$x=0$$

Այժմ փոխարինեք -\frac{70}{37}-ը y-ով x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} հավասարման մեջ և լուծեք՝ գտնելով x-ի համապատասխան լուծումը, որը համապատասխանում է երկու հավասարմանը:

$$x=\frac{1}{3}\left(-\frac{70}{37}\right)-\frac{2}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -\frac{70}{37}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{70}{111}-\frac{2}{3}$$

Գումարեք -\frac{70}{37}\times \frac{1}{3} -\frac{2}{3}-ին:

$$x=-\frac{48}{37}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=0,y=2\text{ or }x=-\frac{48}{37},y=-\frac{70}{37}$$