Լուծեք {l}{3x-2y-2=6}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y - 2 = 6 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y-2=6$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$3x-2y=8$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y+8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ 8+2y:

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Փոխարինեք \frac{8+2y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 3x+2y=4:

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+2y=4$$

Բազմապատկեք 3 անգամ \frac{8+2y}{3}:

$$2y+8+2y=4$$

Գումարեք 2y 2y-ին:

$$4y+8=4$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$4y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{8}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -1:

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Գումարեք \frac{8}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 8+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y-2=6,3x+2y=4$$

Հանեք 3x+2y=4 3x-2y-2=6-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x-2y-2y-2=6-4$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-2y-2y-2=6-4$$

Գումարեք -2y -2y-ին:

$$-4y-2=6-4$$

Գումարեք 6 -4-ին:

$$-4y-2=2$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$-4y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 3x+2y=4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$3x+2\left(-1\right)=4$$

Բազմապատկեք 2 անգամ -1:

$$3x-2=4$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$3x=6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2,y=-1$$