Լուծեք {l}{3x-2y=-10}{5x-11y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 10 } \\ { 5 x - 11 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=-10$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-10\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -10+2y:

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-10+2y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-11y=-9:

$$5\left(\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}\right)-11y=-9$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-10+2y}{3}:

$$\frac{10}{3}y-\frac{50}{3}-11y=-9$$

Գումարեք \frac{10y}{3} -11y-ին:

$$-\frac{23}{3}y-\frac{50}{3}=-9$$

Գումարեք \frac{50}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$-\frac{23}{3}y=\frac{23}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{23}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -1:

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Գումարեք -\frac{10}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\left(-11\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}&-\frac{2}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{23}\left(-10\right)-\frac{2}{23}\left(-9\right)\\\frac{5}{23}\left(-10\right)-\frac{3}{23}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-4,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=-10,5x-11y=-9$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-10\right),3\times 5x+3\left(-11\right)y=3\left(-9\right)$$

Պարզեցնել:

$$15x-10y=-50,15x-33y=-27$$

Հանեք 15x-33y=-27 15x-10y=-50-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x-10y+33y=-50+27$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-10y+33y=-50+27$$

Գումարեք -10y 33y-ին:

$$23y=-50+27$$

Գումարեք -50 27-ին:

$$23y=-23$$

Բաժանեք երկու կողմերը 23-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 5x-11y=-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-11\left(-1\right)=-9$$

Բազմապատկեք -11 անգամ -1:

$$5x+11=-9$$

Հանեք 11 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-4$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-4,y=-1$$