Լուծեք {l}{3x-2y+4=0}{4x+3y+11=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { 4 x + 3 y + 11 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y+4=0$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$3x-2y=-4$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4+2y:

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4+2y}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4x+3y+11=0:

$$4\left(\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y+11=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-4+2y}{3}:

$$\frac{8}{3}y-\frac{16}{3}+3y+11=0$$

Գումարեք \frac{8y}{3} 3y-ին:

$$\frac{17}{3}y-\frac{16}{3}+11=0$$

Գումարեք -\frac{16}{3} 11-ին:

$$\frac{17}{3}y+\frac{17}{3}=0$$

Հանեք \frac{17}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{17}{3}y=-\frac{17}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{17}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -1:

$$x=\frac{-2-4}{3}$$

Գումարեք -\frac{4}{3} -\frac{2}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-4\right)+\frac{2}{17}\left(-11\right)\\-\frac{4}{17}\left(-4\right)+\frac{3}{17}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y+4=0,4x+3y+11=0$$

3x-ը և 4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 4=0,3\times 4x+3\times 3y+3\times 11=0$$

Պարզեցնել:

$$12x-8y+16=0,12x+9y+33=0$$

Հանեք 12x+9y+33=0 12x-8y+16=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12x-12x-8y-9y+16-33=0$$

Գումարեք 12x -12x-ին: 12x-ը և -12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-8y-9y+16-33=0$$

Գումարեք -8y -9y-ին:

$$-17y+16-33=0$$

Գումարեք 16 -33-ին:

$$-17y-17=0$$

Գումարեք 17 հավասարման երկու կողմին:

$$-17y=17$$

Բաժանեք երկու կողմերը -17-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 4x+3y+11=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$4x+3\left(-1\right)+11=0$$

Բազմապատկեք 3 անգամ -1:

$$4x-3+11=0$$

Գումարեք -3 11-ին:

$$4x+8=0$$

Հանեք 8 հավասարման երկու կողմից:

$$4x=-8$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=-1$$