Լուծեք {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-22$$

$$y=77$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+y=11$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-y+11$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -y+11:

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-y+11}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -4x-y=11:

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

Բազմապատկեք -4 անգամ \frac{-y+11}{3}:

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

Գումարեք \frac{4y}{3} -y-ին:

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Գումարեք \frac{44}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 3-ով:

$$y=77$$

Փոխարինեք 77-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 77:

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Գումարեք \frac{11}{3} -\frac{77}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=-22$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-22,y=77$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-22,y=77$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x-ը և -4x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Պարզեցնել:

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Հանեք -12x-3y=33 -12x-4y=-44-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

Գումարեք -12x 12x-ին: -12x-ը և 12x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-4y+3y=-44-33$$

Գումարեք -4y 3y-ին:

$$-y=-44-33$$

Գումարեք -44 -33-ին:

$$-y=-77$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1-ի:

$$y=77$$

Փոխարինեք 77-ը y-ով -4x-y=11-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-4x-77=11$$

Գումարեք 77 հավասարման երկու կողմին:

$$-4x=88$$

Բաժանեք երկու կողմերը -4-ի:

$$x=-22$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-22,y=77$$