Լուծեք {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+6y=24$$

Հանեք 6y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-6y+24$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -6y+24:

$$x=-2y+8$$

Փոխարինեք -2y+8-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 9x+5y=68:

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

Բազմապատկեք 9 անգամ -2y+8:

$$-18y+72+5y=68$$

Գումարեք -18y 5y-ին:

$$-13y+72=68$$

Հանեք 72 հավասարման երկու կողմից:

$$-13y=-4$$

Բաժանեք երկու կողմերը -13-ի:

$$y=\frac{4}{13}$$

Փոխարինեք \frac{4}{13}-ը y-ով x=-2y+8-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

Բազմապատկեք -2 անգամ \frac{4}{13}:

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

Գումարեք 8 -\frac{8}{13}-ին:

$$x=\frac{96}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x-ը և 9x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 9-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Պարզեցնել:

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Հանեք 27x+15y=204 27x+54y=216-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

Գումարեք 27x -27x-ին: 27x-ը և -27x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$54y-15y=216-204$$

Գումարեք 54y -15y-ին:

$$39y=216-204$$

Գումարեք 216 -204-ին:

$$39y=12$$

Բաժանեք երկու կողմերը 39-ի:

$$y=\frac{4}{13}$$

Փոխարինեք \frac{4}{13}-ը y-ով 9x+5y=68-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{4}{13}:

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Հանեք \frac{20}{13} հավասարման երկու կողմից:

$$9x=\frac{864}{13}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 9-ի:

$$x=\frac{96}{13}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$