Լուծեք {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+5y=1$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-5y+1$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -5y+1:

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-5y+1}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2x-3y=0:

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

Բազմապատկեք 2 անգամ \frac{-5y+1}{3}:

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

Գումարեք -\frac{10y}{3} -3y-ին:

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Հանեք \frac{2}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{19}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{2}{19}$$

Փոխարինեք \frac{2}{19}-ը y-ով x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{5}{3} անգամ \frac{2}{19}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Գումարեք \frac{1}{3} -\frac{10}{57}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{3}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

3x-ը և 2x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Պարզեցնել:

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Հանեք 6x-9y=0 6x+10y=2-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$6x-6x+10y+9y=2$$

Գումարեք 6x -6x-ին: 6x-ը և -6x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y+9y=2$$

Գումարեք 10y 9y-ին:

$$19y=2$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=\frac{2}{19}$$

Փոխարինեք \frac{2}{19}-ը y-ով 2x-3y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

Բազմապատկեք -3 անգամ \frac{2}{19}:

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Գումարեք \frac{6}{19} հավասարման երկու կողմին:

$$2x=\frac{6}{19}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=\frac{3}{19}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$