Լուծեք {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+4y=5$$

Հանեք 4y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-4y+5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4y+5:

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4y+5}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+5y=7:

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-4y+5}{3}:

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

Գումարեք -\frac{20y}{3} 5y-ին:

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

Հանեք \frac{25}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{5}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4}{5}-ը y-ով x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{3} անգամ \frac{4}{5}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

Գումարեք \frac{5}{3} -\frac{16}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

Պարզեցնել:

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

Հանեք 15x+15y=21 15x+20y=25-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$20y-15y=25-21$$

Գումարեք 20y -15y-ին:

$$5y=25-21$$

Գումարեք 25 -21-ին:

$$5y=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=\frac{4}{5}$$

Փոխարինեք \frac{4}{5}-ը y-ով 5x+5y=7-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{4}{5}:

$$5x+4=7$$

Հանեք 4 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=3$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=\frac{3}{5}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$