Լուծեք {l}{3x+2y-7=0}{x-5y+9=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y - 7 = 0 } \\ { x - 5 y + 9 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y-7=0$$

Գումարեք 7 հավասարման երկու կողմին:

$$3x+2y=7$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+7:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+7}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x-5y+9=0:

$$-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-5y+9=0$$

Գումարեք -\frac{2y}{3} -5y-ին:

$$-\frac{17}{3}y+\frac{7}{3}+9=0$$

Գումարեք \frac{7}{3} 9-ին:

$$-\frac{17}{3}y+\frac{34}{3}=0$$

Հանեք \frac{34}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{17}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{17}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 2:

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} -\frac{4}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 7+\frac{2}{17}\left(-9\right)\\\frac{1}{17}\times 7-\frac{3}{17}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y-7=0,x-5y+9=0$$

3x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$3x+2y-7=0,3x+3\left(-5\right)y+3\times 9=0$$

Պարզեցնել:

$$3x+2y-7=0,3x-15y+27=0$$

Հանեք 3x-15y+27=0 3x+2y-7=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$3x-3x+2y+15y-7-27=0$$

Գումարեք 3x -3x-ին: 3x-ը և -3x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$2y+15y-7-27=0$$

Գումարեք 2y 15y-ին:

$$17y-7-27=0$$

Գումարեք -7 -27-ին:

$$17y-34=0$$

Գումարեք 34 հավասարման երկու կողմին:

$$17y=34$$

Բաժանեք երկու կողմերը 17-ի:

$$y=2$$

Փոխարինեք 2-ը y-ով x-5y+9=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-5\times 2+9=0$$

Բազմապատկեք -5 անգամ 2:

$$x-10+9=0$$

Գումարեք -10 9-ին:

$$x-1=0$$

Գումարեք 1 հավասարման երկու կողմին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=2$$