Լուծեք {l}{3x+2y=18}{5x=2-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 18 } \\ { 5 x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=-2$$

$$y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$5x+y=2$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=18$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+18$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+18\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+18:

$$x=-\frac{2}{3}y+6$$

Փոխարինեք -\frac{2y}{3}+6-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x+y=2:

$$5\left(-\frac{2}{3}y+6\right)+y=2$$

Բազմապատկեք 5 անգամ -\frac{2y}{3}+6:

$$-\frac{10}{3}y+30+y=2$$

Գումարեք -\frac{10y}{3} y-ին:

$$-\frac{7}{3}y+30=2$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{7}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=12$$

Փոխարինեք 12-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+6-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 12+6$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 12:

$$x=-8+6$$

Գումարեք 6 -8-ին:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$5x+y=2$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 5}&-\frac{2}{3-2\times 5}\\-\frac{5}{3-2\times 5}&\frac{3}{3-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 18+\frac{2}{7}\times 2\\\frac{5}{7}\times 18-\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-2,y=12$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հավելել y-ը երկու կողմերում:

$$5x+y=2$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=18,5x+y=2$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 18,3\times 5x+3y=3\times 2$$

Պարզեցնել:

$$15x+10y=90,15x+3y=6$$

Հանեք 15x+3y=6 15x+10y=90-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x+10y-3y=90-6$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y-3y=90-6$$

Գումարեք 10y -3y-ին:

$$7y=90-6$$

Գումարեք 90 -6-ին:

$$7y=84$$

Բաժանեք երկու կողմերը 7-ի:

$$y=12$$

Փոխարինեք 12-ը y-ով 5x+y=2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x+12=2$$

Հանեք 12 հավասարման երկու կողմից:

$$5x=-10$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=-2$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-2,y=12$$