Լուծեք {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x+2y=16k$$

Հանեք 2y հավասարման երկու կողմից:

$$3x=-2y+16k$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -2y+16k:

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-2y+16k}{3}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 5x-4y=-10k:

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Բազմապատկեք 5 անգամ \frac{-2y+16k}{3}:

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Գումարեք -\frac{10y}{3} -4y-ին:

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Հանեք \frac{80k}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{22}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=5k$$

Փոխարինեք 5k-ը y-ով x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{2}{3} անգամ 5k:

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Գումարեք \frac{16k}{3} -\frac{10k}{3}-ին:

$$x=2k$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2k,y=5k$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=2k,y=5k$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x-ը և 5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Պարզեցնել:

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Հանեք 15x-12y=-30k 15x+10y=80k-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Գումարեք 15x -15x-ին: 15x-ը և -15x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$10y+12y=80k+30k$$

Գումարեք 10y 12y-ին:

$$22y=80k+30k$$

Գումարեք 80k 30k-ին:

$$22y=110k$$

Բաժանեք երկու կողմերը 22-ի:

$$y=5k$$

Փոխարինեք 5k-ը y-ով 5x-4y=-10k-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Բազմապատկեք -4 անգամ 5k:

$$5x-20k=-10k$$

Գումարեք 20k հավասարման երկու կողմին:

$$5x=10k$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$x=2k$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=2k,y=5k$$