Լուծեք {l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել m, n-ի համար

$$m=1$$

$$n=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն m-ի համար՝ առանձնացնելով m-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3m+4n=7$$

Հանեք 4n հավասարման երկու կողմից:

$$3m=-4n+7$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -4n+7:

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-4n+7}{3}-ը m-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 4m-3n-1=0:

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

Բազմապատկեք 4 անգամ \frac{-4n+7}{3}:

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

Գումարեք -\frac{16n}{3} -3n-ին:

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

Գումարեք \frac{28}{3} -1-ին:

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

Հանեք \frac{25}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{25}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$n=1$$

Փոխարինեք 1-ը n-ով m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

Գումարեք \frac{7}{3} -\frac{4}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$m=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=1,n=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի m և n տարրերը:

$$m=1,n=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

3m-ը և 4m-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 4-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

Պարզեցնել:

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

Հանեք 12m-9n-3=0 12m+16n=28-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

Գումարեք 12m -12m-ին: 12m-ը և -12m-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$16n+9n+3=28$$

Գումարեք 16n 9n-ին:

$$25n+3=28$$

Հանեք 3 հավասարման երկու կողմից:

$$25n=25$$

Բաժանեք երկու կողմերը 25-ի:

$$n=1$$

Փոխարինեք 1-ը n-ով 4m-3n-1=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես m-ի համար:

$$4m-3-1=0$$

Գումարեք -3 -1-ին:

$$4m-4=0$$

Գումարեք 4 հավասարման երկու կողմին:

$$4m=4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4-ի:

$$m=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$m=1,n=1$$