Լուծեք {l}{3a+7b=44}{-5a+6b=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 7 b = 44 } \\ { - 5 a + 6 b = 15 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=3$$

$$b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3a+7b=44$$

Հանեք 7b հավասարման երկու կողմից:

$$3a=-7b+44$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=\frac{1}{3}\left(-7b+44\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -7b+44:

$$a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-7b+44}{3}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5a+6b=15:

$$-5\left(-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}\right)+6b=15$$

Բազմապատկեք -5 անգամ \frac{-7b+44}{3}:

$$\frac{35}{3}b-\frac{220}{3}+6b=15$$

Գումարեք \frac{35b}{3} 6b-ին:

$$\frac{53}{3}b-\frac{220}{3}=15$$

Գումարեք \frac{220}{3} հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{53}{3}b=\frac{265}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{53}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=5$$

Փոխարինեք 5-ը b-ով a=-\frac{7}{3}b+\frac{44}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{7}{3}\times 5+\frac{44}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{7}{3} անգամ 5:

$$a=\frac{-35+44}{3}$$

Գումարեք \frac{44}{3} -\frac{35}{3}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=3,b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{3\times 6-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\times 6-7\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 6-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}&-\frac{7}{53}\\\frac{5}{53}&\frac{3}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\15\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{53}\times 44-\frac{7}{53}\times 15\\\frac{5}{53}\times 44+\frac{3}{53}\times 15\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=3,b=5$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3a+7b=44,-5a+6b=15$$

3a-ը և -5a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-5\times 3a-5\times 7b=-5\times 44,3\left(-5\right)a+3\times 6b=3\times 15$$

Պարզեցնել:

$$-15a-35b=-220,-15a+18b=45$$

Հանեք -15a+18b=45 -15a-35b=-220-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-15a+15a-35b-18b=-220-45$$

Գումարեք -15a 15a-ին: -15a-ը և 15a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-35b-18b=-220-45$$

Գումարեք -35b -18b-ին:

$$-53b=-220-45$$

Գումարեք -220 -45-ին:

$$-53b=-265$$

Բաժանեք երկու կողմերը -53-ի:

$$b=5$$

Փոխարինեք 5-ը b-ով -5a+6b=15-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$-5a+6\times 5=15$$

Բազմապատկեք 6 անգամ 5:

$$-5a+30=15$$

Հանեք 30 հավասարման երկու կողմից:

$$-5a=-15$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$a=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=3,b=5$$