Լուծեք {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Լուծել a, b-ի համար

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն a-ի համար՝ առանձնացնելով a-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3a+14b=4$$

Հանեք 14b հավասարման երկու կողմից:

$$3a=-14b+4$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -14b+4:

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Փոխարինեք \frac{-14b+4}{3}-ը a-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 13a+19b=13:

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Բազմապատկեք 13 անգամ \frac{-14b+4}{3}:

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Գումարեք -\frac{182b}{3} 19b-ին:

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Հանեք \frac{52}{3} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{125}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$b=\frac{13}{125}$$

Փոխարինեք \frac{13}{125}-ը b-ով a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Բազմապատկեք -\frac{14}{3} անգամ \frac{13}{125}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Գումարեք \frac{4}{3} -\frac{182}{375}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$a=\frac{106}{125}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի a և b տարրերը:

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a-ը և 13a-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 13-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Պարզեցնել:

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Հանեք 39a+57b=39 39a+182b=52-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Գումարեք 39a -39a-ին: 39a-ը և -39a-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$182b-57b=52-39$$

Գումարեք 182b -57b-ին:

$$125b=52-39$$

Գումարեք 52 -39-ին:

$$125b=13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 125-ի:

$$b=\frac{13}{125}$$

Փոխարինեք \frac{13}{125}-ը b-ով 13a+19b=13-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես a-ի համար:

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Բազմապատկեք 19 անգամ \frac{13}{125}:

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Հանեք \frac{247}{125} հավասարման երկու կողմից:

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 13-ի:

$$a=\frac{106}{125}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$