Լուծեք {l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+3y+9=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$x+3y+9+2y=0$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$x+5y+9=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x+5y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y=-3y-4$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-x+2y+3y=-4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=-4$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+5y=-9$$

Հանեք 5y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-5y-9$$

Փոխարինեք -5y-9-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -x+5y=-4:

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -5y-9:

$$5y+9+5y=-4$$

Գումարեք 5y 5y-ին:

$$10y+9=-4$$

Հանեք 9 հավասարման երկու կողմից:

$$10y=-13$$

Բաժանեք երկու կողմերը 10-ի:

$$y=-\frac{13}{10}$$

Փոխարինեք -\frac{13}{10}-ը y-ով x=-5y-9-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{13}{10}:

$$x=\frac{13}{2}-9$$

Գումարեք -9 \frac{13}{2}-ին:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+3y+9=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$x+3y+9+2y=0$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$x+5y+9=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x+5y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y=-3y-4$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-x+2y+3y=-4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=-4$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+3y+9=2x-2y$$

Հանեք 2x երկու կողմերից:

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

Համակցեք 3x և -2x և ստացեք x:

$$x+3y+9=-2y$$

Հավելել 2y-ը երկու կողմերում:

$$x+3y+9+2y=0$$

Համակցեք 3y և 2y և ստացեք 5y:

$$x+5y+9=0$$

Հանեք 9 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$x+5y=-9$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 x+y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$2x+2y=3x-3y-4$$

Հանեք 3x երկու կողմերից:

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

Համակցեք 2x և -3x և ստացեք -x:

$$-x+2y=-3y-4$$

Հավելել 3y-ը երկու կողմերում:

$$-x+2y+3y=-4$$

Համակցեք 2y և 3y և ստացեք 5y:

$$-x+5y=-4$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

Հանեք -x+5y=-4 x+5y=-9-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

Գումարեք 5y -5y-ին: 5y-ը և -5y-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$x+x=-9+4$$

Գումարեք x x-ին:

$$2x=-9+4$$

Գումարեք -9 4-ին:

$$2x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x=-\frac{5}{2}$$

Փոխարինեք -\frac{5}{2}-ը x-ով -x+5y=-4-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես y-ի համար:

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

Բազմապատկեք -1 անգամ -\frac{5}{2}:

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

Հանեք \frac{5}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$5y=-\frac{13}{2}$$

Բաժանեք երկու կողմերը 5-ի:

$$y=-\frac{13}{10}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$