Լուծեք {l}{3(x+2)=2y}{2cy+s=7x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + s = 7 x } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=-6$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -6+2y:

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x+2cy=-s:

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{2y}{3}-2:

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

Գումարեք -\frac{14y}{3} 2cy-ին:

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{14}{3}+2c-ի:

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Փոխարինեք -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}:

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

Գումարեք -2 -\frac{s+14}{-7+3c}-ին:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

3x-ը և -7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

Պարզեցնել:

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

Հանեք -21x+6cy=-3s -21x+14y=42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք -21x 21x-ին: -21x-ը և 21x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք 14y -6cy-ին:

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք 42 3s-ին:

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-6c-ի:

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Փոխարինեք \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}-ը y-ով -7x+2cy=-s-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

Բազմապատկեք 2c անգամ \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}:

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

Հանեք \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Լուծել x, y-ի համար

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$3x-2y=-6$$

Գումարեք 2y հավասարման երկու կողմին:

$$3x=2y-6$$

Բաժանեք երկու կողմերը 3-ի:

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{3} անգամ -6+2y:

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

Փոխարինեք \frac{2y}{3}-2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -7x+2cy=-s:

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

Բազմապատկեք -7 անգամ \frac{2y}{3}-2:

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

Գումարեք -\frac{14y}{3} 2cy-ին:

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

Հանեք 14 հավասարման երկու կողմից:

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

Բաժանեք երկու կողմերը -\frac{14}{3}+2c-ի:

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Փոխարինեք -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}-ը y-ով x=\frac{2}{3}y-2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

Բազմապատկեք \frac{2}{3} անգամ -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}:

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

Գումարեք -2 -\frac{s+14}{-7+3c}-ին:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 x+2-ով բազմապատկելու համար:

$$3x+6=2y$$

Հանեք 2y երկու կողմերից:

$$3x+6-2y=0$$

Հանեք 6 երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$3x-2y=-6$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 7x երկու կողմերից:

$$2cy+s-7x=0$$

Հանեք s երկու կողմերից: Զրոյից հանելով ցանկացած թիվ ստացվում է նույն թվի բացասական արժեքը:

$$2cy-7x=-s$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

3x-ը և -7x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -7-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 3-ով:

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

Պարզեցնել:

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

Հանեք -21x+6cy=-3s -21x+14y=42-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք -21x 21x-ին: -21x-ը և 21x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք 14y -6cy-ին:

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

Գումարեք 42 3s-ին:

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 14-6c-ի:

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

Փոխարինեք \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}-ը y-ով -7x+2cy=-s-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

Բազմապատկեք 2c անգամ \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}:

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

Հանեք \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c} հավասարման երկու կողմից:

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7-ի:

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$