Լուծեք {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-14y-21=2$$

Հանեք 21 -6-ից և ստացեք -27:

$$15x-27-14y=2$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$15x-14y=2+27$$

Գումարեք 2 և 27 և ստացեք 29:

$$15x-14y=29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 4-9x-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=12-27x$$

Հավելել 27x-ը երկու կողմերում:

$$6x-2y-23+27x=12$$

Համակցեք 6x և 27x և ստացեք 33x:

$$33x-2y-23=12$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում:

$$33x-2y=12+23$$

Գումարեք 12 և 23 և ստացեք 35:

$$33x-2y=35$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$15x-14y=29$$

Գումարեք 14y հավասարման երկու կողմին:

$$15x=14y+29$$

Բաժանեք երկու կողմերը 15-ի:

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{15} անգամ 14y+29:

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Փոխարինեք \frac{14y+29}{15}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 33x-2y=35:

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Բազմապատկեք 33 անգամ \frac{14y+29}{15}:

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Գումարեք \frac{154y}{5} -2y-ին:

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Հանեք \frac{319}{5} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{144}{5}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Բազմապատկեք \frac{14}{15} անգամ -1:

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Գումարեք \frac{29}{15} -\frac{14}{15}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-14y-21=2$$

Հանեք 21 -6-ից և ստացեք -27:

$$15x-27-14y=2$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$15x-14y=2+27$$

Գումարեք 2 և 27 և ստացեք 29:

$$15x-14y=29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 4-9x-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=12-27x$$

Հավելել 27x-ը երկու կողմերում:

$$6x-2y-23+27x=12$$

Համակցեք 6x և 27x և ստացեք 33x:

$$33x-2y-23=12$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում:

$$33x-2y=12+23$$

Գումարեք 12 և 23 և ստացեք 35:

$$33x-2y=35$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 մատրիցայի՝ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) դեպքում հակադարձ մատրիցան հետևյալն է՝ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ուստի մատրիցայի հավասարումը կարելի է վերագրել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=-1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 5x-2-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ -7 2y+3-ով բազմապատկելու համար:

$$15x-6-14y-21=2$$

Հանեք 21 -6-ից և ստացեք -27:

$$15x-27-14y=2$$

Հավելել 27-ը երկու կողմերում:

$$15x-14y=2+27$$

Գումարեք 2 և 27 և ստացեք 29:

$$15x-14y=29$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 2 3x-y-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Օգտագործեք բաժանիչ հատկությունը՝ 3 4-9x-ով բազմապատկելու համար:

$$6x-2y-23=12-27x$$

Հավելել 27x-ը երկու կողմերում:

$$6x-2y-23+27x=12$$

Համակցեք 6x և 27x և ստացեք 33x:

$$33x-2y-23=12$$

Հավելել 23-ը երկու կողմերում:

$$33x-2y=12+23$$

Գումարեք 12 և 23 և ստացեք 35:

$$33x-2y=35$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x-ը և 33x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 33-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 15-ով:

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Պարզեցնել:

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Հանեք 495x-30y=525 495x-462y=957-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Գումարեք 495x -495x-ին: 495x-ը և -495x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-462y+30y=957-525$$

Գումարեք -462y 30y-ին:

$$-432y=957-525$$

Գումարեք 957 -525-ին:

$$-432y=432$$

Բաժանեք երկու կողմերը -432-ի:

$$y=-1$$

Փոխարինեք -1-ը y-ով 33x-2y=35-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Բազմապատկեք -2 անգամ -1:

$$33x+2=35$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$33x=33$$

Բաժանեք երկու կողմերը 33-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=-1$$