Լուծեք {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=1$$

$$y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$21x+7y=42$$

Հանեք 7y հավասարման երկու կողմից:

$$21x=-7y+42$$

Բաժանեք երկու կողմերը 21-ի:

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{21} անգամ -7y+42:

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Փոխարինեք -\frac{y}{3}+2-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -5x+5y=10:

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Բազմապատկեք -5 անգամ -\frac{y}{3}+2:

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Գումարեք \frac{5y}{3} 5y-ին:

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Գումարեք 10 հավասարման երկու կողմին:

$$\frac{20}{3}y=20$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը \frac{20}{3}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով x=-\frac{1}{3}y+2-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{3} անգամ 3:

$$x=-1+2$$

Գումարեք 2 -1-ին:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=1,y=3$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

21x-ը և -5x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -5-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 21-ով:

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Պարզեցնել:

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Հանեք -105x+105y=210 -105x-35y=-210-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Գումարեք -105x 105x-ին: -105x-ը և 105x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-35y-105y=-210-210$$

Գումարեք -35y -105y-ին:

$$-140y=-210-210$$

Գումարեք -210 -210-ին:

$$-140y=-420$$

Բաժանեք երկու կողմերը -140-ի:

$$y=3$$

Փոխարինեք 3-ը y-ով -5x+5y=10-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-5x+5\times 3=10$$

Բազմապատկեք 5 անգամ 3:

$$-5x+15=10$$

Հանեք 15 հավասարման երկու կողմից:

$$-5x=-5$$

Բաժանեք երկու կողմերը -5-ի:

$$x=1$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=1,y=3$$