Լուծեք {l}{2014x+2015y=8057}{2015x+2014y=8059}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2014 x + 2015 y = 8057 } \\ { 2015 x + 2014 y = 8059 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=3$$

$$y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$2014x+2015y=8057$$

Հանեք 2015y հավասարման երկու կողմից:

$$2014x=-2015y+8057$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2014-ի:

$$x=\frac{1}{2014}\left(-2015y+8057\right)$$

Բազմապատկեք \frac{1}{2014} անգամ -2015y+8057:

$$x=-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}$$

Փոխարինեք \frac{-2015y+8057}{2014}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 2015x+2014y=8059:

$$2015\left(-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}\right)+2014y=8059$$

Բազմապատկեք 2015 անգամ \frac{-2015y+8057}{2014}:

$$-\frac{4060225}{2014}y+\frac{16234855}{2014}+2014y=8059$$

Գումարեք -\frac{4060225y}{2014} 2014y-ին:

$$-\frac{4029}{2014}y+\frac{16234855}{2014}=8059$$

Հանեք \frac{16234855}{2014} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{4029}{2014}y=-\frac{4029}{2014}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{4029}{2014}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով x=-\frac{2015}{2014}y+\frac{8057}{2014}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=\frac{-2015+8057}{2014}$$

Գումարեք \frac{8057}{2014} -\frac{2015}{2014}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2014&2015\\2015&2014\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2014}{2014\times 2014-2015\times 2015}&-\frac{2015}{2014\times 2014-2015\times 2015}\\-\frac{2015}{2014\times 2014-2015\times 2015}&\frac{2014}{2014\times 2014-2015\times 2015}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2014}{4029}&\frac{2015}{4029}\\\frac{2015}{4029}&-\frac{2014}{4029}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8057\\8059\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2014}{4029}\times 8057+\frac{2015}{4029}\times 8059\\\frac{2015}{4029}\times 8057-\frac{2014}{4029}\times 8059\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=3,y=1$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$2014x+2015y=8057,2015x+2014y=8059$$

2014x-ը և 2015x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 2015-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 2014-ով:

$$2015\times 2014x+2015\times 2015y=2015\times 8057,2014\times 2015x+2014\times 2014y=2014\times 8059$$

Պարզեցնել:

$$4058210x+4060225y=16234855,4058210x+4056196y=16230826$$

Հանեք 4058210x+4056196y=16230826 4058210x+4060225y=16234855-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$4058210x-4058210x+4060225y-4056196y=16234855-16230826$$

Գումարեք 4058210x -4058210x-ին: 4058210x-ը և -4058210x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$4060225y-4056196y=16234855-16230826$$

Գումարեք 4060225y -4056196y-ին:

$$4029y=16234855-16230826$$

Գումարեք 16234855 -16230826-ին:

$$4029y=4029$$

Բաժանեք երկու կողմերը 4029-ի:

$$y=1$$

Փոխարինեք 1-ը y-ով 2015x+2014y=8059-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$2015x+2014=8059$$

Հանեք 2014 հավասարման երկու կողմից:

$$2015x=6045$$

Բաժանեք երկու կողմերը 2015-ի:

$$x=3$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=3,y=1$$