Լուծեք {l}{20-7600x-1600y=0}{20-1000x-6000y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 - 7600 x - 1600 y = 0 } \\ { 20 - 1000 x - 6000 y = 0 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=\frac{1}{500}=0.002$$

$$y=\frac{3}{1000}=0.003$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-7600x-1600y+20=0$$

Հանեք 20 հավասարման երկու կողմից:

$$-7600x-1600y=-20$$

Գումարեք 1600y հավասարման երկու կողմին:

$$-7600x=1600y-20$$

Բաժանեք երկու կողմերը -7600-ի:

$$x=-\frac{1}{7600}\left(1600y-20\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{7600} անգամ 1600y-20:

$$x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}$$

Փոխարինեք -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ -1000x-6000y+20=0:

$$-1000\left(-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}\right)-6000y+20=0$$

Բազմապատկեք -1000 անգամ -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380}:

$$\frac{4000}{19}y-\frac{50}{19}-6000y+20=0$$

Գումարեք \frac{4000y}{19} -6000y-ին:

$$-\frac{110000}{19}y-\frac{50}{19}+20=0$$

Գումարեք -\frac{50}{19} 20-ին:

$$-\frac{110000}{19}y+\frac{330}{19}=0$$

Հանեք \frac{330}{19} հավասարման երկու կողմից:

$$-\frac{110000}{19}y=-\frac{330}{19}$$

Բաժանեք հավասարման երկու կողմերը -\frac{110000}{19}-ի, որը նույնն է, ինչ բազմապատկել երկու կողմերը կոտորակի հակադարձով:

$$y=\frac{3}{1000}$$

Փոխարինեք \frac{3}{1000}-ը y-ով x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{4}{19}\times \frac{3}{1000}+\frac{1}{380}$$

Բազմապատկեք -\frac{4}{19} անգամ \frac{3}{1000}-ը՝ բազմապատկելով համարիչ անգամ համարիչ և հայտարար անգամ հայտարար: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը ամենացածր անդամների:

$$x=-\frac{3}{4750}+\frac{1}{380}$$

Գումարեք \frac{1}{380} -\frac{3}{4750}-ին՝ գտնելով ընդհանուր հայտարարը և գումարելով համարիչները: Ապա, հնարավորության դեպքում, նվազեցրեք կոտորակը մինչև ամենացածր անդամը:

$$x=\frac{1}{500}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{-1600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\\-\frac{-1000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{7600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}&\frac{1}{27500}\\\frac{1}{44000}&-\frac{19}{110000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}\left(-20\right)+\frac{1}{27500}\left(-20\right)\\\frac{1}{44000}\left(-20\right)-\frac{19}{110000}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{500}\\\frac{3}{1000}\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

-7600x-ը և -1000x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները -1000-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -7600-ով:

$$-1000\left(-7600\right)x-1000\left(-1600\right)y-1000\times 20=0,-7600\left(-1000\right)x-7600\left(-6000\right)y-7600\times 20=0$$

Պարզեցնել:

$$7600000x+1600000y-20000=0,7600000x+45600000y-152000=0$$

Հանեք 7600000x+45600000y-152000=0 7600000x+1600000y-20000=0-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$7600000x-7600000x+1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

Գումարեք 7600000x -7600000x-ին: 7600000x-ը և -7600000x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

Գումարեք 1600000y -45600000y-ին:

$$-44000000y-20000+152000=0$$

Գումարեք -20000 152000-ին:

$$-44000000y+132000=0$$

Հանեք 132000 հավասարման երկու կողմից:

$$-44000000y=-132000$$

Բաժանեք երկու կողմերը -44000000-ի:

$$y=\frac{3}{1000}$$

Փոխարինեք \frac{3}{1000}-ը y-ով -1000x-6000y+20=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$-1000x-6000\times \frac{3}{1000}+20=0$$

Բազմապատկեք -6000 անգամ \frac{3}{1000}:

$$-1000x-18+20=0$$

Գումարեք -18 20-ին:

$$-1000x+2=0$$

Հանեք 2 հավասարման երկու կողմից:

$$-1000x=-2$$

Բաժանեք երկու կողմերը -1000-ի:

$$x=\frac{1}{500}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$