Լուծեք {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x=40$$

$$y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x+y=115-20$$

Հանեք 20 115-ից և ստացեք 95:

$$x+y=95$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 8y երկու կողմերից:

$$11x-8y=0$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$x+y=95$$

Հանեք y հավասարման երկու կողմից:

$$x=-y+95$$

Փոխարինեք -y+95-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ 11x-8y=0:

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Բազմապատկեք 11 անգամ -y+95:

$$-11y+1045-8y=0$$

Գումարեք -11y -8y-ին:

$$-19y+1045=0$$

Հանեք 1045 հավասարման երկու կողմից:

$$-19y=-1045$$

Բաժանեք երկու կողմերը -19-ի:

$$y=55$$

Փոխարինեք 55-ը y-ով x=-y+95-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-55+95$$

Գումարեք 95 -55-ին:

$$x=40$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=40,y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x+y=115-20$$

Հանեք 20 115-ից և ստացեք 95:

$$x+y=95$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 8y երկու կողմերից:

$$11x-8y=0$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=40,y=55$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 20 երկու կողմերից:

$$x+y=115-20$$

Հանեք 20 115-ից և ստացեք 95:

$$x+y=95$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Հանեք 8y երկու կողմերից:

$$11x-8y=0$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x-ը և 11x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 11-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ 1-ով:

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Պարզեցնել:

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Հանեք 11x-8y=0 11x+11y=1045-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Գումարեք 11x -11x-ին: 11x-ը և -11x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$11y+8y=1045$$

Գումարեք 11y 8y-ին:

$$19y=1045$$

Բաժանեք երկու կողմերը 19-ի:

$$y=55$$

Փոխարինեք 55-ը y-ով 11x-8y=0-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$11x-8\times 55=0$$

Բազմապատկեք -8 անգամ 55:

$$11x-440=0$$

Գումարեք 440 հավասարման երկու կողմին:

$$11x=440$$

Բաժանեք երկու կողմերը 11-ի:

$$x=40$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=40,y=55$$