Լուծեք {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Լուծել x, y-ի համար

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է փոխարինումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x-y-4x=-3$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x-y=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Փոխարինման միջոցով երկու հավասարում լուծելու համար նախ լուծեք հավասարումներից մեկը փոփոխականներից մեկի համար: Ապա փոխարինեք այդ փոփոխականի արդյունքը մյուս հավասարման մեջ:

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Ընտրեք հավասարումներից մեկը և լուծեք այն x-ի համար՝ առանձնացնելով x-ը հավասարության նշանի ձախ կողմում:

$$-2x-y=-3$$

Գումարեք y հավասարման երկու կողմին:

$$-2x=y-3$$

Բաժանեք երկու կողմերը -2-ի:

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ y-3:

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Փոխարինեք \frac{-y+3}{2}-ը x-ով մյուս հավասարման մեջ՝ x+y=\frac{1}{2}:

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Գումարեք -\frac{y}{2} y-ին:

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Հանեք \frac{3}{2} հավասարման երկու կողմից:

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Բազմապատկեք երկու կողմերը 2-ով:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Բազմապատկեք -\frac{1}{2} անգամ -2:

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Գումարեք \frac{3}{2} 1-ին:

$$x=\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում են մատրիցաները

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x-y-4x=-3$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x-y=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Բերեք հավասարումները ստանդարտ ձևի, ապա մատրիցայի միջոցով լուծեք հավասարումների համակարգը:

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Գրեք հավասարությունները մատրիցայի տեսքով:

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարման ձախ մասը բազմապատկեք \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ի հակադարձ մատրիցայով:

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Մատրիցայի և իր հակադարձի արտահայտումը եզակի մատրիցան է:

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Հավասարության նշանի ձախ կողմում բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) մատրիցայի համար հակադարձ մատրիցան \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) է, ուստի մատրիցայի հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես մատրիցայի բազմապատկման խնդիր:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Բազմապատկեք մատրիցաները:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Կատարել թվաբանություն:

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Արտահանեք մատրիցայի x և y տարրերը:

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Քայլեր, որտեղ օգտագործվում է մեկ անհայտով լուծումը

Դիտարկել առաջին հավասարումը: Հանեք 4x երկու կողմերից:

$$2x-y-4x=-3$$

Համակցեք 2x և -4x և ստացեք -2x:

$$-2x-y=-3$$

Դիտարկել երկրորդ հավասարումը: Բաժանեք երկու կողմերը 2-ի:

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Մեկ անհայտով լուծելու համար փոփոխականներից մեկի գործակիցները պետք է նույնը լինեն երկու հավասարման մեջ, որպեսզի փոփոխականը չեղարկվի, երբ մեկ հավասարումը հանվի մյուսից:

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

-2x-ը և x-ը հավասարեցնելու համար բազմապատկեք առաջին հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները 1-ով, իսկ երկրորդ հավասարման յուրաքանչյուր կողմի բոլոր անդամները՝ -2-ով:

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Պարզեցնել:

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Հանեք -2x-2y=-1 -2x-y=-3-ից՝ հանելով նմանատիպ տերմինները հավասարման նշանի յուրաքանչյուր կողմում:

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Գումարեք -2x 2x-ին: -2x-ը և 2x-ը չեղարկվում են՝ թողնելով հավասարումը ընդամենը մեկ փոփոխականով, որը կարող է լուծվել:

$$-y+2y=-3+1$$

Գումարեք -y 2y-ին:

$$y=-3+1$$

Գումարեք -3 1-ին:

$$y=-2$$

Փոխարինեք -2-ը y-ով x+y=\frac{1}{2}-ում: Քանի որ վերջնական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ փոփոխական, կարող եք լուծել անմիջապես x-ի համար:

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Գումարեք 2 հավասարման երկու կողմին:

$$x=\frac{5}{2}$$

Այժմ համակարգը լուծվել է:

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$